Jenis-jenis Ilmu Aljabar

Aljabar abstrak makanan apa itu? Bagi orang nan awam dari global matematika niscaya sering berkomentar seperti itu atau bahkan para mahasiswa nan sedang menjalani mata kuliah ini juga berpikiran seperti itu. Membayangkan pelajaran aljabar waktu di sekolah taraf menengah dan taraf atas dulu saja sudah membuat ingin muntah apalagi nan ada embel-embel kata abstrak.

Bagi anda nan pernah duduk di bangku sekolah taraf menengah dan atas pastilah kata alljabar sudah tak asing lagi. Mungkin sebagian besar dari anda mempunyai kenangan nan jelek tentang aljabar dikarenakan nilai nan buruk atau bahkan guru matematika nan super galak. Jangankan mau mempelajarinya kembali, membayangkan kata aljabar saja pastilah membuat anda terbayang persamaan nan mengandung x, y nan rumit dan membuat pusing.

Tenang saja, aljabar abstrak (aljabar modern) atau lebih dikenal dengan sebutan struktur aljabar hanya dipelajari oleh Mahasiswa jurusan Matematika sebab aljabar jenis ini termasuk dalam golongan Matematika taraf tinggi.Tapi, tak ada salahnya kita mengetahui garis besar tentang Ilmu Aljabar abstrak, apalagi sampai berminat buat mempelajarinya lebih dalam. Berikut ini akan dibahas mengenai sejarah ilmu aljabar, pengertian ilmu aljabar dan jenis-jenis ilmu aljabar.

Sebenarnya ilmu aljabar sudah ada sejak zaman dahulu kala sebelum masehi. Hal ini berdasarkan inovasi dokumen Mesir antik nan ditulis pada abad 1600 SM. Dokumen tersebut ialah karya seorang pakar matematika nan bernama Atimes Papyres, nan berisi sejumlah soal aljabar. Dalam dokumen tersebut Atimes papires menggunakan kata "hau" sebagai pengganti sapta nan belum diketahui.

Hau sendiri memiliki arti "sebuah tumpukan atau onggokan". Sehingga bisa disimpulkan bahwa pada saat itu masyarakat mengenal lambang atau simbol eksklusif sebagai pengganti variabel, mereka masih menggunakan kata-kata sebagai pengganti variabel.

Selanjutnya, pada abad III perkembangan ilmu aljabar di tangan Diophantus nan merupakan seorang matematikawan Yunani tak terlalu berkembang pesat. Diophantus meringkas soal-soal dalam persamaan-persamaan eksklusif dan menyimbolkan sapta nan belum diketahui dengan huruf Yunani yaitu sigma.

Selain itu, Diophantus juga memperkenalkan suatu sistem nan cukup menarik yaitu dengan menggunakan singkatan huruf pertama buat menyatakan suatu persamaan. Sebagai contoh, Kuadrat Tersamar Plus Sapta Sama Dengan 100 disingkat menjadi KTPBSD100.

Kemudian, pada abad IX istilah "aljabar" baru muncul, hal ini berkat jasa matematikawan Persia bernama Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi nan lebih dikenal dengan sebutan al-Kwarizmi atau "bapak Aljabar". Sebenarnya, kata aljabar sendiri diambil dari kitab hasil tulisan al-Kwarizmi nan berjudul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’. Aljabar atau Al-Jabr memiliki arti penempatan kembali nan bermakna pemindahan tanda positif ke ruas lain persamaan buat membuatnya menjadi negatif dan sebaliknya.

Penyebaran kata Al-Jabr mulai terjadi ketika bangsa Arab datang ke Spanyol dan membawa serta kata tersebut. Lama kelamaan seiring dengan berjalannya waktu kata Al-Jabr pun berubah menjadi aljabar. Kata aljabar sendiri semakin popular dan tak hanya diterapkan pada satu macam pengerjaan hitung saja, tetapi juga diterapkan pada berbagai pengerjaan hitung nan masih tercakup dalam konteks aljabar.

Perkembangan Aljabar berikutnya terjadi pada abad XVI oleh Francois Vieta seorang matematikawan Perancis dan pada abad XVII oleh Rene Descartes nan merupakan filosof besar Perancis. Disini mereka berdua sama-sama mengembangkan simbol atau lambang buat persamaan aljabar.

Francois Vieta, menggunakan huruf vocal a, e, i, o dan u buat menunjukkan sapta nan belum diketahui dan menggunakan huruf konsonan b, c, d, f, g, dan seterusnya buat menyatakan suatu harga nan tetap dalam soal-soal eksklusif nan telah disepakati sebelumnya.

Sedangkan, Rene Descartes mengemukakan lambang aljabar nan akhirnya digunakan sampai sekarang, yaitu penggunaan huruf a, b, c, dan huruf-huruf lain nan berdekatan dengan huruf permulaan alfabet buat menyatakan suatu sapta tetap, sedangkan penggunaan huruf-huruf terakhir alphabet seperti x, y, z dan w menyatakan suatu sapta nan belum diketahui.

Setelah simbol-simbol aljabar digunakan secara luas, ilmu aljabar berkembang dengan cepat menjadi suatu perangkat kaidah-kaidah dan dalil nan sistematis nan bisa diterapkan pada semua bilangan.

Ilmu Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu matematika nan menggunakan simbol, lambang dan huruf buat mewakili angka-angka nan belum diketahui. Sebenarnya, secara tak langsung anda sering sekali mempelajari atau bahkan menerapkan ilmu aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh

Adik membeli permen 5 buah dan coklat 1 buah di sebuah toko. Berapakah harga 1 buah permen jika diketahui harga sebuah coklat Rp 1.000,00 dan adik harus membayar Rp 3.500,00 buat seluruh total belanjanya?

Penyelesaian

Misalkan: Harga permen = x

Bentuk aljabar dari persoalan di atas bisa kita bentuk sebagai berikut

5x + 1.000 = 3.500

5x + 1.000 - 1.000 = 3.500 - 1.000

5x = 2.500

5x : 5 = 2.500 : 5

x = 500

Jadi, harga permen ialah Rp 500,00

Secara garis besar ilmu aljabar bisa dibagi menjadi beberapa kategori, antara lain;

Mempelajari sifat-sifat operasi pada sapta real meliputi +, -, x, : dengan menggunakan simbol dan huruf sebagai konstanta dan variabel serta anggaran nan membangun aktualisasi diri dan persamaan Matematika nan melibatkan simbol dan huruf tersebut. Aljabar elementer merupakan bentuk aljabar paling dasar dan biasanya diajarkan kepada siswa nan belum memiliki pengetahuan Matematika selain Aritmatika Dasar.

Contoh permasalahan aljabar elementer

Carilah sapta x nan memenuhi persamaan 2x-2 = 8!

Penyelesaian

2x - 2 = 8

2x -2 + 2 = 8 + 2

2x = 10

2x : 2 = 10 : 2

x = 5

Jadi, nilai dari sapta x ialah 5

Merupakan cabang dari ilmu matematika nan mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring, medan, modul, ruang vektor, dan medan (fields). Pada awal abad ke 20 istilah aljabar abstrak diciptakan dengan tujuan buat membedakannya dengan istilah aljabar.

Sistem aljabar (algebraic system) terdiri atas suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum eksklusif nan dipenuhi oleh operasi. Salah satu alasan nan paling krusial buat mempelajari sistim tersebut ialah buat menyatukan sifat-sifat pada topik-topik nan berbeda dalam matematika.

Contoh permasalahan aljabar abstrak atau aljabar modern

Operasi * didefinisikan pada himpunan sapta real R dengan a*b = (1/2)ab.

Tunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif!

Penyelesaian

Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.

Assosiatif:

Karena (a*b)*c = (1/2 ab)*c

= (1/2)((1/2 ab)c)

= (1/4) (ab)c

dan pada sisi lain

a*(b*c) = a*((1/2) bc)

= (1/2) a((1/2) bc)

= (1/4)(ab)c

untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.

Komutatif

Karena a*b = (1/2)ab

= (1/2)ba

= b*a

untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.

Mempelajari sifat-sifat spesifik dari matriks dan ruang vektor.

Contoh permasalahan Aljabar linier

Tentukanlah hasil perkalian vektor a = (1, 2, 1 ) dan vektor b = (0, 3, -5)!

Penyelesaian

a.b = (1, 2, 1) . (0, 3, -5)

= ( 1 x 0 + 2 x 3 + 1 x -5)

= 0 + 6 - 5

= 1

Seperti namanya "universal" nan berarti keseluruhan, aljabar ini mempelajari sifat-sifat bersama dari holistik struktur aljabar.

Ilmu aljabar merupakan bagian dari matematika nan dikenal sebagai ilmu deduktif, sebab proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika nan berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan nan lain nan pada umumnya induktif. Dalam matematika, jika suatu generalisasi dari teori, sifat atau dalil nilai kebenarannya sudah dibuktikan secara deduktif maka nilai kebenaran tersebut bisa diterima keabsahannya.

Dari uraian di atas bisa disimpulkan bahwa sebenarnya ilmu aljabar ada beberapa jenis mulai dari nan dasar seperti aljabar elementer bahkan sampai nan taraf tinggi seperti aljabar abstrak dan buat memahami ilmu aljabar taraf tinggi diperlukan konsep pemikiran nan dibangun dengan logika nan kuat.