Integral - Cara Cepat buat Menguasai Anti Turunan

Integral atau anti turunan ialah bagian dari kalkulus. anti turunan merupakan salah satu bab dalam mata pelajaran matematika nan didapatkan di kelas XII. Anti turunan merupakan invers dari operasi diferensial. Sebagai pelajar SMA, mempelajari anti turunan dalam mata pelajaran matematika merupakan suatu keharusan sebab dalam Ujian Nasional, materi ini akan diujikan. Selain itu, tidak sporadis soal nan berkaitan dengan anti turunan muncul di ujian masuk perguruan tinggi.

Ada nan beranggapan bahwa belajar integral itu tak mudah. Bahkan, ada nan sengaja menghindari jauh-jauh bab ini. Mempelajari anti turunan memang butuh waktu. Agar tak mengalami kesulitan ketika belajar anti turunan, pemahaman terhadap konsepnya terlebih dahulu harus dimengerti.

1. Integral Tak Tentu

Dalam integral tidak tentu, tak dijumpai batasan atau syarat seperti pada anti turunan tentu, sehingga hasil akhirnya harus ditambah dengan C. Rumus anti turunan tentu ialah sebagai berikut:

∫ ax^n = a/(n+1).x^(n+1) + C ; n ≠ 1

Contoh 1:

∫ (2x - 3)^2 dx
= ∫ 4x^2 - 12x + 9 dx
= ∫ 4/(2+1).x^(2+1) - 12/(1+1).x^(1+1) + 9/(0+1).x^(0+1)
= 4/3 x^3 - 6x^2+ 9x + C

1. Menentukan Nilai Konstanta Integrasi (C)

Nilai konstanta integrasi (C) bisa ditentukan dengan memasukkan beberapa data nan sudah diketahui,

Contoh 2:

Diketahui : F’(x) = 5x - 3 ; f(2) = 18; tentukan F(x)

Jawab :

F(x) = ∫ (5x - 3) dx
= 5/2.x^2 - 3x + C
18 = 5/2.2^2 - 3.2 + C
18 = 10 – 9 + C
18 = 1 + C
C = 18 – 1
C = 17

1. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Berikut ini ialah rumus dasar anti turunan tidak tentu fungsi trigonometri:

1. ∫ cos x dx = sin x + C
2. ∫ sin x dx = -cos x + C
3. ∫ sec^2 dx = tan x + C
4. ∫ csc^2 dx = -cot x + C
5. ∫ tan x.sec x dx = sec x + C
6. ∫ cot x.csc x dx = -csc x + C

Selain keenam rumus di atas, terdapat ekspansi rumus anti turunan trigonometri, diantaranya :

1. ∫ cos ax dx = 1/a sin ax + C
2. ∫ sin ax dx = -1/a cos ax + C
3. ∫ sec^2 ax dx = 1/a tan ax + C
4. ∫ csc^2 ax dx = - 1/a cot ax + C
5. ∫ tan x sec ax dx = 1/a sec ax + C
6. ∫ cot ax csc ax dx = -1/a csc ax + C

Tipe rumus anti turunan trigonometri nan lain, yaitu:

1. ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + C
2. ∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + C
3. ∫ sec^2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + C
4. ∫ csc^2 (ax + b) dx = -1/a cot (ax + b) + C
5. ∫ tan (ax + b) sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + C
6. ∫ cot (ax + b) csc (ax + b) dx = - 1/a csc〗 (ax + b) + C

Anti turunan tidak tentu diaplikasikan dalam berbagai hal, diantaranya :

1. Menentukan Fungsi F(X) apabila F’(x) dan F(a) Diketahui

Apabila F’(x) dan F(a) diketahui, konstanta integrasi C nan terdapat pada hasil anti turunan mempunyai nilai tertentu. Sehingga fungsi F(x) nan eksklusif bisa dicari. Nilai x = a disebut syarat batas buat F(x).

2. Menentukan Persamaan Kurva

Biasanya dalam soal hanya diketahui gradien (m) dan kita diharuskan mencari persamaan kurva. Gradien ialah turunan pertama fungsi F(x), sehingga buat mencari persamaan kurva fungsi, operasi anti turunan digunakan dengan memasukkan keterangan titik (x,y) nan diketahui.

3. Menentukan Persamaan Mobilitas pada Benda

Jika laju benda pada waktu t dengan posisi saat t1 diketahui, posisi benda saat t bisa dirumuskan :

s = ∫ v dt

Jika akselerasi benda pada waktu t dan laju benda saat t1 diketahui, laju benda saat t bisa dirumuskan :

s = ∫ a dt

2. Integral Tentu

Perbedaan integral tentu dan tidak tentu terletak pada nilai C. Pada anti turunan tidak tentu, nilai C tak diketahui sebab tak terdapat batasan sebagai syarat pada anti turunan. anti turunan tentu sama dengan limit jumlah Riemann . Namun, hasil perhitungan anti turunan tidak tentu dalam prosesanti turunan tentu bisa kita gunakan.

Selain kedua jenis anti turunan di atas, ada pula ati turunan substitusi dan anti turunan parsial. Sedangkan syarat anti turunan tentu bisa dimasukkan sebagai variasi pada kedua kasus anti turunan tersebut.

3. Integral Substitusi

Anti turunan substitusi digunakan buat mengubah anti turunan tak standar agar menjadi bentuk baku. Anti turunan diubah dulu ke dalam bentuk

∫ f(u)du dengan memisalkan :

Contoh 4 :

∫ (4x - 3)^10 dx

Misalkan u = 4x - 3, maka du/dx = 4, atau dx = 1/4 du, sehingga:

∫ (4x - 3)^10 dx
= ∫ (u)^10 . 1/4 du
= 1/4 ∫ u^10 du
= 1/4 (1/(10+1).u^(10+1)) + C
= 1/44.u^11 + C
= 1/44.(4x - 3)^11 + C

Pada kasus anti turunan substitusi trigonometri juga bisa diselesaikan melalui langkah nan sama. Jika menggunakan cara praktis nan sering terlupa ialah bagian menurunkan trigonometri itu sendiri sehingga perlu ketelitian lebih buat mengerjakan anti turunan jenis ini.

4. Integral Parsial (Sebagian)

Anti turunan parsial bisa dikatakan mirip dengan anti turunan substitusi. Hal tersebut mengakibatkan banyak nan terkecoh menggunakan rumus turunan substitusi buat anti turunan parsial maupun sebaliknya. Hal nan perlu diperhatikan ialah pangkat.

Cara termudah buat membedakan ialah dengan melihat besar pangkat, lalu menurunkannya. Jika setelah diturunkan bisa dibagi dengan anti turunan atau habis, maka anti turunan tersebut ialah anti turunan substitusi. Lain halnya jika hasil turunannya tak dapat dibagi, anti turunan tersebut termasuk dalam kategori anti turunan parsial. Memang membutuhkan tambahan waktu buat mengecek termasuk dalam kategori mana anti turunan nan dimaksud.

Rumus generik integral parsial ∫ u dv = u.v - ∫ v.du

Contoh soal dan penyelesaian integral parsial trigonometri

∫ x sin 4x dx

x dimisalkan sebagai u sedangkan sin 4x dx dimisalkan sebagai dv.

Langkah selanjutnya ialah mencari turunannya dan hasil substitusinya.

u = x
du/dx = 1
du = dx
sedangkan buat
dv = sin 4x dx
v = ∫ sin 4x dx
v = -1/4 cos 4x

Setelah semua diketahui, data tersebut dimasukkan ke dalam rumus integral parsial,
∫ u.v - ∫ v du
= -1/4 x cos 4x - ∫ -1/4 cos 4x dx
= -1/4 x cos 4 x dx + 1/16 sin 4x + C

Agar lancar dalam mengerjakan soal-soal anti turunan nan biasanya dibuat bervariasi, diperlukan banyak buku surat keterangan serta waktu nan cukup buat latihan. Pepatah ‘bisa sebab biasa’ bisa diterapkan buat mempelajari bab ini. Hal pertama nan harus ditanamkan ialah jangan pernah takut belajar sebelum mencoba. Mendengar komentar banyak orang nan menganggap anti turunan sulit harus dibuang jauh-jauh. Jika kita mau belajar, tak ada hal nan tak dapat dilakukan.

Permasalahan biasanya timbul ketika dalam mengerjakan soal dibutuhkan waktu nan cukup lama, sedangkan setelah menghabiskan berlembar-lembar kertas, jawaban tidak kunjung ditemukan. Hal tersebut membuat putus asa, jengkel, dan kadang membuat menyerah.

Namun bagi nan menyukai tantangan, hal tersebut akan membuat semakin bersemangat buat mencari jawaban sampai ditemukan. Untuk nan mudah menyerah menghadapi kesulitan, sebisa mungkin dilatih buat memposisikan diri menjadi seorang penyuka tantangan. Mulanya memang akan sulit, tetapi lama-kelamaan niscaya akan terbiasa.

Selain memanfaatkan buku surat keterangan maupun klarifikasi dari guru ketika berada di sekolah, internet pun juga bisa digunakan. Misalnya dengan mencari video tutorial cara mengerjakan anti turunan maupun konsultasi belajar online . Dengan mengulang-ngulang klarifikasi nan diberikan, ingatan akan menjadi lebih tajam dan masalah mengenai berbagai kasus intergral bisa diatasi.

Agar lebih efektif, usahakan membuat catatan dengan bahasa sendiri setelah mendapat materi, sehingga ketika harus mengulang lagi tak diperlukan waktu nan lama sebab bisa memahami dan tak sekadar menghafal rumus. Semakin aktif mencari sumber, proses buat memahami anti turunan akan semakin cepat. Latihan setiap hari dan memahami setiap perumusan matematika nan ada akan menambah pengetahuan dan pelaksanaan integral dalam global nyata.