Bagi Anda nan banyak berkecimpung dalam global logika filosofi, ilmu komputer teoritis, dan dasar matematika niscaya tahu cabang ilmu matematika nan satu ini, yaitu Logika Matematika . Logika Matematika sering kali dibagi menjadi beberapa bidang teori himpunan, teori model, teori rekursi, dan teori pembuktian.
Sejak awal, Logika Matematika telah berkontribusi dan telah dimotivasi oleh pembelajaran dasar matematika. Pembelajaran ini dimulai pada akhir abad 19 dengan pengembangan kerangka aksiomatik buat geometri, aritmetika dan analisa.
Pada awal abad 20, Logika Matematika ini dibentuk oleh program David Hilbert buat membuktikan konsistensi teori dasar. Hasil dari Kurt Gödel, Gerhard Gentzen dan lainnya memberikan resolusi parsial pada program dan mengklarifikasi masalah-masalah nan terkait dalam verifikasi konsistensi. Kerja dalam teori himpunan menunjukkan bahwa hampir seluruh matematika biasa bisa diformalisasikan dalam bentuk himpunan, walaupan ada beberapa teorema nan tak bisa dibuktikan dalam sistem aksioma generik buat teori himpunan.
Pada tahun 1930-an, beberapa karya krusial mengenai Logika Matematika menunjukkan bahwa sebagian besar teori matematika, layaknya fisika dan biologi merupakan hipotetis deduktif. Maka dari itu, matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam dengan hipotesis-hipotesis berupa dugaan.
Maka teori kategori dikembangkan demi memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika, dan teori himpunan. Pada kurun waktu tahun 1900-an hingga 1930-an, klarifikasi dasar kaku buat matematika dilakukan menggunkan kata beragam “krisis dasar”.
Hingga kini, beberapa ketidaksetujuan mengenai dasar-dasar matematika masih terus berlanjut. Pemicu krisis dasar ialah silang konkurensi di masa tersebut nan mencakup kontroversi Brouwer-Hilbert dan kontroversi teori himpunan Cantor.
Penempatan matematika pada suatu kerangka kerja aksiomatis nan kaku dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja tersebut merupakan salah satu cara memperhatikan Logika Matematika. Logika Matematika merupakan loka bagi Teori Ketidaklengkapan kedua Gödel, kemungkinan hasil nan paling dirayakan pada global logika, secara informal mengakibatkan bahwa dalam suatu sistem formal nan berisi aritmetika dasar, jika semua teorema nan bisa dibuktikan ialah benar, maka tidak lengkap atau terdapat teorema sejati nan tidak bisa dibuktikan pada sistem tersebut.
1. Penghubung dalam Logika Matematika
Logika Matematika memiliki lima penghubung. Penghubung-penghubung tersebut ialah Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Akibat dan Ekuivalensi. Sebelum mendalami mengenai kelima penghubung tersebut, mari kita pahami terlebih dahulu apa nan dimaksud dengan logika proposisi dan logika predikat.
Logika proposisi atau dapat disebut juga dengan kalkulus proposisi bersifat menelaah manipulasi antar proposisi, sedangkan logika predikat atau biasa juga disebut dengan kalkulus predikat bersifat menelaah manipulasi antar predikat. Suatu proposisi ialah suatu kalimat deklaratif nan mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu sahih (B) atau salah (S).
Contoh kalimat deklaratif dengan proposisi primitif ialah “Jeff Keith ialah vokalis band Tesla” atau “Delapan merupakan sebuah sapta genap”. Contoh kalimat deklaratif dengan proposisi beragam (memuat penghubung “atau” dan “jika.. maka...” ialah “Endah Tri Utami mendalami industri finansial atau telekomunikasi” dan “Jika 20 habis dibagi dengan 5, maka juga habis dibagi dengan 2”. Klarifikasi mengenai setiap penghubung itu ialah sebagai berikut.
- Negasi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q ialah proposisi, maka buat sembarang proposisi, p, dengan nilai kebenaran B/S, maka negasinya ditulis dengan notasi ~p nan memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.
- Konjungsi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q ialah proposisi, maka konjungsi p dan q dinyatakan dengan pɅq ialah suatu proposisi nan bernilai sahih jika proposisi p dan q keduanya memiliki nilai nan benar.
- Disjungsi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q ialah proposisi, disjungsi p dan q dinyatakan dengan pѴq ialah proposisi nan memiliki nilai salah jika proposisi p dan q keduanya memiliki nilai salah.
- Implikasi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q ialah suatu proposisi maka akibat dari p ke q dinyatakan dengan, p →q, ialah proporsi nan memiliki nilai salah jika dan hanya jika p memiliki nilai sahih dan q memiliki nilai salah. Proposisi p disebut dengan anteseden atau bisa juga dikatakan premis atau hipotesa, dan proporsa q disebut dengan konsekuen atau kesimpulan.
- Ekuivalensi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q ialah suatu proposisi maka ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan p ↔ q ialah proposisi nan memiliki nilai sahih jika proporsi p dan q memiliki nilai kebenaran nan sama.
Berikut ini ialah contoh-contoh proposisi dalam Logika Matematika.
- p: Bulan ialah satu-satunya satelit bumi di galaksi bima sakti nan memantulkan cahaya (B).
- q: Satu abad sama dengan 100 tahun (B).
- r: 4 + 3 = 8 (S).
Maka jika menggunakan penghubung dalam Logika Matematika dalam klarifikasi sebelumnya, berikut ini ialah hasilnya.
- ~p: Bulan bukan satu-satunya satelit bumi di galaksi bima sakti nan memantulkan cahaya (S)
- qɅr: Satu abad sama dengan 100 tahun dan 4 + 3 = 8 (S).
- qѴr: Satu abad sama dengan 100 tahun atau 4 + 3 = 8 (B).
- q→r: Jika satu abad sama dengan 100 tahun maka 4 + 3 = 8 (S).
- q↔r: Jika satu abad sama dengan 100 tahun jika dan hanya jika 4 + 3 = 8 (S).
Berikut ini ialah contoh pernyataan proporsi dengan simbol dan cara buat menyatakan sahih atau salah.
Thomas Alva Edison menemukan sejumlah inovasi krusial dan tak sahih bahwa radio pertama kali dirakit pada abad ke sembilan belas atau satu Tesla setara dengan 100 Gauss. Maka pada setiap proposisi primitive tersebut kita beri simbol, yaitu:
- p: Thomas Alva Edison menemukan sejumlah inovasi krusial (B);
- q: radio pertama kali dirakit pada abad ke Sembilan belas (B);
- r: satu Tesla setara dengan seratus Gauss (S).
Secara simbolik, proporsi tersebut ialah p Ʌ ~q Ѵ r sehingga diperoleh B Ʌ ~B Ѵ S ↔ ( B Ʌ S) Ѵ S ↔ S Ѵ S ↔ S. Dengan demikian, logika matematika dari proposisi tersebut memiliki nilai nan salah.
2. Implikasi dalam Logika Matematika
Implikasidalam Logika Matematika terdiri dari atas macam, yaitu Tautologi, Pertentangan dan Satisfiabel. Suatu proporsi dikatakan memiliki nilai tautologi jika proporsi tersebut mempunyai nilai nan sahih pada setiap pemberian nilai kebenaran di setiap variabelnya.
Suatu proporsi dikatakan memiliki nilai kontradiksi, jika proporsi tersebut memiliki nilai salah pada setiap pemberian nilai kebenaran di setiap variabelnya. Dan nan terakhir, suatu proporsi dikatakan memiliki nilai satisfiabel jika memiliki nilai sahih pada suatu pemberian nilai kebenaran di setiap variabelnya.
Data berikut ini akan memperlihatkan proporsi tautologi (p Ѵ ~p) dan pertentangan (p Ʌ ~p).
- p (p Ѵ ~p) (p Ʌ ~p)
- B B S
- S B S
Dan berikut ini ialah daftar logika matematika dengan proposisi satisfiabel (p→q).
- p q p→q
- B B B
- B S S
- S B B
- S S B
Artikel ini hanyalah menjelaskan beberapa contoh dalam beberapa logika matematika, buat lebih lengkapnya Anda bisa mendalaminya dalam buku teks matematika.